Rundweg zur Mathematik durch Jena

10 Stationen seit 2015 (erweitert 2022)

Auf einer gedachten Kreislinie im Norden und Osten der Universitätsstadt sind neben dem Mittelpunkt in der IMAGINATA (s. u.) 15 Objekte aufgestellt, die Mathematik zum Anfassen und Begreifen bereithalten. Standorte und Themen sind in diesem Leporello dargestellt.

1. reguläre n-Ecke

Carl-Zeiss Gymnasium Jena

Mit der Erkenntnis von C. F. Gauß (1777 – 1855) zu Zirkel- und Lineal-Konstruktionen regelmäßiger n-Ecke entstand die Idee des Mathematikweges. Das größte bisher bekannte Primzahl-n-Eck mit 65537 Ecken und einer Kantenlänge von 11 cm bildet die imaginäre Linie, auf der die Stationen stehen. Am „Startpunkt“ werden die Konstruktionen von 3-, 5- und 17-Ecken thematisiert.

2. figurierte Zahlen

GESCH-Finnlandsauna

Closewitzer Straße 19

Auf dem gesamten Weg werden oft Zahlen betrachtet, die nicht mit ihren Ziffern geschrieben werden, sondern als Figuren vergegenständlicht sind. Das können Pyramiden, Dreiecke, Sechsecke wie an dieser Station oder Würfel, Quadrate usw. sein. Die Zahl 91 wird hier auch als Doppelpyramide und „Kompaktwürfel“ gezeigt.

3. Kubikzahlsummen

Gartenanlage im Rautal

Sachseneckweg Gartenlokal

Die ersten vier Dreieckzahlen, die ersten vier Kubikzahlen und vier Quadratzahlen sollen hier zu einer verallgemeinerbaren Gleichung zusammengefügt werden. Betrachtet man die Seitenlängen der Quadrate, so erkennt man diese als die Dreieckzahlen wieder. Addiert man die aufeinanderfolgenden Kubikzahlen, so fällt der wunderbare Zusammenhang auf.

4. Pascalsches Dreieck

Gartenanlage Rautal

Sachseneckweg Parkplatz

Das nach B. Pascal (1623 – 1662) benannte Zahlenschema mit den Ziffern 1 am Rand und in den nachfolgenden Zeilen jeweils die Summen der beiden schräg darüberstehenden Zahlen verbirgt eine ganze Reihe überraschender Beziehungen. Darunter sind auch die figurierten Zahlen aus Dreiecken und Pyramiden.

5. Kopfrechnen

Auf dem Weg zum Nordfriedhof

An der Eule

Elementargeometrische Zerlegungen einfacher Figuren wie Rechtecke, Quadrate oder auch Dreiecke in Quadrate, Rechtecke oder Dreiecke werden mit den entsprechenden Kantenlängen vorgestellt. Es soll mit den gegebenen Größen im Kopf versucht werden, die fehlenden Größen zu ermitteln. Es sind sehr bemerkenswerte Zerlegungen (minimaler Ordnung) darunter.

6. Gaußformel

Nordschule

Dornburger Straße 31

Im März 2015 wurde diese Station mit den natürlichen Zahlen von 1 bis 10 als figurierte Zahlen als erste auf dem Matheweg aufgestellt. Die Grundschüler erkennen nicht nur die Zahlen, sondern auch die Figuren, wobei die 6 als „Oktaeder“ sicher am schwierigsten ist. Die Hauptfrage ist jedoch diejenige nach der Anzahl aller Kugeln auf dem Tisch, also der Summe der ersten zehn Zahlen. Die Idee des kleinen Gauß soll hier durch die Anordnung der Zahlen anschaulich werden.

7. Halbkugel

Zeissplanetarium

Am Planetarium 5

Das Planetarium als Halbkugel steht hier im Mittelpunkt. Bei gleicher Grundfläche (Kreis) und gleicher Höhe (hier: Kreisradius) stehen Kegel, Halbkugel und Zylinder in einem gewissen Verhältnis zueinander. Man erkennt sofort, dass VZ > VH > VK ist. Über den Würfel und die halb so hohe Pyramide erkennt man den Zusammenhang VZ = 3?VK, den man auch noch aus der Schule kennen kann. Ist nun VH = 2?VK?

8. Quadratdifferenzen

Heinrich-Heine-Grundschule

Dammstraße 37

Nebeneinandergelegt sind hier die ungeraden Zahlen 2n+1 (n = 0 bis 4), was man schön erkennt, und die Quadratzahlen von 1 bis 25. Man erkennt Beziehungen zwischen den ungeraden Zahlen und den Quadratzahlen, wenn man mit Summen und Differenzen „spielt“. Damit ergibt sich ein schöner, einfacher Satz der Zahlentheorie, dessen geometrischer Beweis an der Seite mit einer Zeichnung aufgezeigt ist.

9. Ganzzahligkeit I

TGS Wenigenjena

Jenzigweg 29

Lange existiert die Frage, ob es einen perfekten Quader gibt, was einen Quader mit ganzzahligen Kantenlängen in den Blick nimmt, dessen vier Diagonalen ebenfalls ganzzahlig sind. Ein recht „würfelnahes“ Beispiel mit sechs der sieben Eckpunktabstände wird gezeigt. Daneben ist eine ganz spezielle Pyramide zu sehen, die ihr „Geheimnis“ mit der Flächenformel von Heron (~ 10 – 70) lüftet.

10. Ganzzahligkeit II

Gemeinschaftsschule Leonardo

Marie-Juchacz-Straße 1

Thematisiert werden hier gleiche Flächen- und Raumdiagonalen in verschiedenen Rechtecken oder Quadern. Die zentrale Stellung nimmt dabei eine Halbkugel ein, wo auf einem Achtel der Kugeloberfläche Punkte markiert sind, die allesamt ganzzahlige Koordinaten haben. Daneben sind Rechtecke gezeichnet, die bei unterschiedlichen Kanten gleiche Diagonalen haben.

 11. Pythagoras

Angergymnasium

Karl-Liebknecht-Straße 87

Bekannt als Pythagoräische Tripel sind die drei Zahlen 3, 4 und 5, da sich ihre Quadrate sehr schön in der Gleichung 3² + 4² = 5² wiederfinden, was zur Folge hat, dass ein Dreieck mit diesen drei Seitenlängen rechtwinklig ist. Weitere solche Tripel werden gezeigt und auch der Weg zum Verständnis, dass es davon unendlich viele, paarweise teilerfremde Lösungen gibt. Die Gleichung 3³ + 4³ + 5³ = 6³ wird mit Hilfe von Würfeln thematisiert.

12. magische Quadrate

Erlkönig

am Tümplingpark

Ein Zahlenschema aus den Zahlen 1 bis n² in einem n x n – Quadrat wird (normal) magisch genannt, wenn die Summe der Zahlen in allen Zeilen, Spalten und den beiden Diagonalen gleich ist. Gezeigt sind hier Beispiele für die kleinsten Ordnungen 3 und 4, wobei ersteres mit dem „Hexeneinmaleins“ von J. W. v. Goethe in Verbindung gebracht wird. Ein Gaußsches Quadrat ist als weiteres „schönes“ Beispiel mit Skatkarten gezeigt.

13. Fibonaccizahlen

Sitzecke im freien Gelände

auf dem Wanderweg nach Kunitz

Über 800 Jahre kennt man die einfache Zahlenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, bei der die nächste Zahl immer die Summe der beiden vorangegangenen Zahlen ist. Eine Vielzahl von Eigenschaften lassen sich ableiten, der „Goldene Schnitt“ wird sichtbar und es gibt sogar eine enge Beziehung zum Pascalschen Dreieck.

14. Ähnlichkeit

Kunitzer Hausbrücke

An der Mühle 48, Kunitz

In vielen Fragstellungen findet die Dreieckslehre Antworten und nutzt dabei sehr oft den vielleicht am meisten bewiesenen „Satz des Pythagoras“. Dort spielt die Ähnlichkeit von Dreiecken die entscheidende Rolle. Aber auch andere sogenannte Ähnlichkeitszerlegungen sind bekannt, wobei diejenigen mit kleinen Anzahlen besonders interessant erscheinen. Hier werden einige bemerkenswerte Figuren gezeigt.

15. Brückenprobleme

Schule am Rautal

Schreckenbachweg 3

Eigentlich für die Hausbrücke angedacht, werden hier Übertrittsprobleme vorgestellt, die (u. a.) den alten „Klassiker“ mit Ziege, Wolf und Kohlkopf thematisieren. Dazu gibt es Ehepaare mit ängstlichen Frauen, die über einen Fluss gelangen wollen. Das Königsberger Brückenproblem wird ebenso angesprochen wie die Konstruktion einer Brücke mit zwei Brettern.